Lũy thừa với số mũ nguyên

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Định nghĩa

Cho $n$ là một số nguyên dương.

Với $a$ là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc $n$

$n$$n$ của $a$

$a$$a$ là tích của $n$

$n$$n$ thừa số $a$

$a$$a$.

$a^n=a.a.a.....a$

$a^n=a.a.a.....a$${a^n} = a.a.a.....a$ ($n$

$n$$n$ thừa số $a$

$a$$a$)

Với $a\ne 0$

$a\ne 0$$a \ne 0$ thì $a^0=1,a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$a^0=1,a^{-n}={\displaystyle \frac{1}{a^n}}$${a^0} = 1,{a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$.

Chú ý

$0^n$

$0^n$${0^n}$ và $0^{-n}$

$0^{-n}$${0^{ - n}}$ không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Căn bậc $n$

$n$$n$

a) Định nghĩa

Cho số thực $b$

$b$$b$ và số nguyên dương $n\left(n\ge 2\right)$

$n\left(n\ge 2\right)$$n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$

$a$$a$ được gọi là căn bậc $n$

$n$$n$ của số $b$

$b$$b$ nếu $a^n=b$

$a^n=b$${a^n} = b$.

b) Chú ý

+) Với $n$

$n$$n$ lẻ và $b\in R$

$b\in \mathbb{R}$$b \in \mathbb{R}$ thì có duy nhất một căn bậc $n$

$n$$n$ của $b$

$b$$b$, kí hiệu $\sqrt[n]{nb}$

$\sqrt[n]{b}$$\sqrt[n]{b}$.

+) Với $n$

$n$$n$ chẵn và:

$b<0$

$b<0$$b < 0$ thì không tồn tại căn bậc $n$

$n$$n$ của $b$

$b$$b$.

$b=0$

$b=0$$b = 0$ thì có duy nhất một căn bậc $n$

$n$$n$ của $b$

$b$$b$ là số $0$

$0$$0$.

$b>0$

$b>0$$b > 0$ thì có hai căn trái dấu, kí hiệu $\sqrt[n]{nb}$

$\sqrt[n]{b}$$\sqrt[n]{b}$ và $-\sqrt[n]{nb}$

$-\sqrt[n]{b}$$- \sqrt[n]{b}$.

c) Tính chất

$\begin{array}{c}\sqrt[n]{na}.\sqrt[n]{nb}=\sqrt[n]{nab}\\ \frac{\sqrt[n]{na}}{\sqrt[n]{nb}}=\sqrt[n]{n\frac{a}{b}}\\ {\left(\sqrt[n]{na}\right)}^m=\sqrt[n]{n{a}^m}\\ \sqrt[n]{n{a}^n}=\{\begin{array}{c}a,\text{nếu}n\text{lẻ}\\ \left|a\right|,\text{nếu}n\text{chẵn}\end{array}\\ \sqrt[n]{n\sqrt[k]{ka}}=\sqrt[nk]{nka}\end{array}$

$\begin{array}{l}\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}=\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}\\ {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}\\ \sqrt[n]{a^n}=\{\begin{array}{l}a,\text{nếu}n\text{lẻ}\\ \left|a\right|,\text{nếu}n\text{chẵn}\end{array}\\ \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}\end{array}$$\begin{array}{l}\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\\\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\dfrac{a}{b}}}\\{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\\\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}a,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu} \,\,n \,\text{lẻ}\\\left| a \right|,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,n\,\text{chẵn}\end{array} \right.\\\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\end{array}$

Ví dụ

$\sqrt[3]{3-4}.\sqrt[3]{354}=\sqrt[3]{3\left(-4\right).54}=\sqrt[3]{3-216}=-6$

$\sqrt[3]{-4}.\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{\left(-4\right).54}=\sqrt[3]{-216}=-6$$\sqrt[3]{{ - 4}}.\sqrt[3]{{54}} = \sqrt[3]{{\left( { - 4} \right).54}} = \sqrt[3]{{ - 216}} =&nbsp; - 6$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$

$a$$a$ dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$

$r={\displaystyle \frac{m}{n}}$$r = \dfrac{m}{n}$, trong đó $m\in Z$

$m\in \mathbb{Z}$$m \in \mathbb{Z}$, $n\in N$

$n\in \mathbb{N}$$n \in \mathbb{N}$, $n\ge 2$

$n\ge 2$$n \ge 2$.

Lũy thừa của số $a$

$a$$a$ với số mũ $r$

$r$$r$ là số $a^r$

$a^r$${a^r}$ xác định bởi

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{n{a}^m}$

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Đặc biệt:  Khi $m=1$

$m=1$$m=1$: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{na}$

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

${16}^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{4{16}^{-3}}=\frac{1}{\sqrt[4]{4{16}^3}}$

${16}^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{16}^{-3}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{{16}^3}}}$${16^{ - \frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{{{16}^{ - 3}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{{{16}^3}}}}}$ $=\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{416}\right)}^3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

$={\displaystyle \frac{1}{{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3}}={\displaystyle \frac{1}{2^3}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$= \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[4]{{16}}} \right)}^3}}} = \dfrac{1}{{{2^3}}} = \dfrac{1}{8}$

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho $a,b$

$a,b$$a,b$ là những số thực dương; $\alpha ,\beta$

$\alpha ,\beta$$\alpha ,\beta$ là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

$\begin{array}{c}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta }\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha }\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}\end{array}$

$\begin{array}{l}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }\\ {\displaystyle \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}}=a^{\alpha -\beta }\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta }\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha }\\ {\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^{\alpha }={\displaystyle \frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}}\end{array}$$\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha&nbsp; + \beta }}\\\dfrac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha&nbsp; - \beta }}\\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\\{\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha }\\{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^\alpha } = \dfrac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\end{array}$

Nếu $a>1$

$a>1$$a > 1$ thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha >\beta$

$a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha >\beta$${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha&nbsp; > \beta$.

Nếu $a<1$

$a<1$$a < 1$ thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha <\beta$

$a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha <\beta$${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha&nbsp; < \beta$.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: $A=\frac{a^{\sqrt{2}+1}.a^{3-\sqrt{2}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}$

$A={\displaystyle \frac{a^{\sqrt{2}+1}.a^{3-\sqrt{2}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}}$$A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2&nbsp; + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3&nbsp; - 1}}} \right)}^{\sqrt 3&nbsp; + 1}}}}$

Ta có:

$\begin{array}{c}A=\frac{a^{\sqrt{2}+1}.a^{3-\sqrt{2}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}=\frac{a^{\sqrt{2}+1+3-\sqrt{2}}}{a^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}\\ =\frac{a^4}{a^{3-1}}=a^2\end{array}$

$\begin{array}{l}A={\displaystyle \frac{a^{\sqrt{2}+1}.a^{3-\sqrt{2}}}{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}}={\displaystyle \frac{a^{\sqrt{2}+1+3-\sqrt{2}}}{a^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}}\\ ={\displaystyle \frac{a^4}{a^{3-1}}}=a^2\end{array}$$\begin{array}{l} A = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1}}.{a^{3 - \sqrt 2 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 - 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}} = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 + 1 + 3 - \sqrt 2 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}}}\\ = \dfrac{{{a^4}}}{{{a^{3 - 1}}}} = {a^2} \end{array}$

Loigiaihay.com